Задача 16: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 7. Найдите длину стороны AC.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. Нарисуем треугольник: Представим равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AC) и углом (B = 120^circ). Высота, проведённая из вершины (A) к стороне (BC), пусть будет (AH), и она равна 7. 2. Найдём углы: Так как треугольник (ABC) равнобедренный и (AB = BC), углы при основании (AC) равны. Значит, (\angle BAC = \angle BCA = (180^circ - 120^circ) / 2 = 30^circ). 3. Рассмотрим треугольник (AHB): В прямоугольном треугольнике (AHB), угол (\angle ABH = 120^circ - 90^circ = 30^circ), и (AH = 7). 4. Найдём сторону (AB): Используем синус угла (\angle ABH) в треугольнике (AHB): \[\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}\] \[\sin(30^circ) = \frac{7}{AB}\] Так как (\sin(30^circ) = \frac{1}{2}), то \[\frac{1}{2} = \frac{7}{AB}\] Отсюда, (AB = 14). 5. Найдём сторону (AC): Теперь рассмотрим треугольник (ABC). Мы знаем, что (AB = BC = 14) и угол (\angle ABC = 120^circ). Используем теорему косинусов для нахождения (AC): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot \cos(\angle ABC)\] \[AC^2 = 14^2 + 14^2 - 2 cdot 14 cdot 14 cdot \cos(120^circ)\] Так как (\cos(120^circ) = -\frac{1}{2}), то \[AC^2 = 196 + 196 - 2 cdot 196 cdot (-\frac{1}{2})\] \[AC^2 = 392 + 196 = 588\] \[AC = \sqrt{588} = \sqrt{4 cdot 147} = \sqrt{4 cdot 3 cdot 49} = 2 cdot 7 cdot \sqrt{3} = 14\sqrt{3}\] Ответ: (14\sqrt{3})