Задача 5: В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45°. Основания трапеции равны 5 и 13 см. Боковая сторона равна 12 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть \(a\) - меньшее основание, \(b\) - большее основание, \(c\) - боковая сторона, \(\alpha\) - угол при основании. Проведем высоты из вершин меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник с углом 45°. Так как трапеция равнобедренная, то \(b - a = 2 \cdot x\), где \(x\) - проекция боковой стороны на большее основание. В нашем случае \(a = 5\) см, \(b = 13\) см, \(c = 12\) см. \(13 - 5 = 2 \cdot x\) \(8 = 2 \cdot x\) \(x = 4\) см. Высота трапеции \(h = x \cdot \tan(\alpha) = 4 \cdot \tan(45°) = 4 \cdot 1 = 4\) см. Площадь трапеции \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 13}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36\) кв. см. Ответ: 36 кв. см.