Задача 8. В стране дураков бывают только солнечные или дождливые дни. Банк «Кэт-энд-фокс» работает круглосуточно и предлагает два вида вкладов. 1) Вклад «Солнечный»: сумма по вкладу увеличивается на 20% каждый солнечный день и уменьшается на 20% каждый дождливый день. 2) Вклад «Дождливый», который устроен ровно наоборот. Буратино положил в ночь на 1 июля равные суммы денег по обоим вкладам. В ночь на 1 августа сумма по вкладу «Солнечный» была на 50% больше суммы по вкладу «Дождливый». Сколько в июле было солнечных дней?

Пусть S - количество солнечных дней в июле, а D - количество дождливых дней.

Всего в июле 31 день, следовательно, $$S + D = 31$$.

Пусть X - первоначальная сумма вклада.

Сумма по вкладу «Солнечный» в конце июля: $$X \cdot (1 + 0.2)^S \cdot (1 - 0.2)^D = X \cdot (1.2)^S \cdot (0.8)^D$$

Сумма по вкладу «Дождливый» в конце июля: $$X \cdot (1 + 0.2)^D \cdot (1 - 0.2)^S = X \cdot (1.2)^D \cdot (0.8)^S$$

По условию, сумма по вкладу «Солнечный» была на 50% больше суммы по вкладу «Дождливый», то есть:

$$X \cdot (1.2)^S \cdot (0.8)^D = 1.5 \cdot X \cdot (1.2)^D \cdot (0.8)^S$$

$$\frac{(1.2)^S}{(0.8)^S} = 1.5 \cdot \frac{(1.2)^D}{(0.8)^D}$$

$$(\frac{1.2}{0.8})^S = 1.5 \cdot (\frac{1.2}{0.8})^D$$

$$(1.5)^S = 1.5 \cdot (1.5)^D$$

$$1.5^{S-D} = 1.5^1$$

$$S - D = 1$$

Решаем систему уравнений:

$$S + D = 31$$

$$S - D = 1$$

Сложим два уравнения:

$$2S = 32$$

$$S = 16$$

Таким образом, в июле было 16 солнечных дней.

Ответ: 16.