Задача №1: В треугольнике ABC сторона AC = 79, BM - медиана, BH - высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Решение: 1. Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 79/2 = 39.5 2. Так как BC = BM, то треугольник BCM - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle BMC = \angle BCM\). 3. \(\angle BCM\) - это то же самое, что \(\angle BCA\). Пусть \(\angle BCA = x\), тогда \(\angle BMC = x\). 4. Так как BH - высота, то \(\angle BHC = 90^\circ\). 5. Рассмотрим треугольник BHC. В этом треугольнике \(\angle HBC = 90^\circ - \angle BCA = 90^\circ - x\). 6. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ\). 7. Выразим \(\angle BAC\) через x. \(\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA\). 8. Так как \(\angle BMC\) - внешний угол треугольника ABM, то \(\angle BMC = \angle ABM + \angle BAM\). Следовательно, \(x = \angle ABM + \angle BAM\). 9. \(\angle ABM = \angle ABC - \angle HBC = \angle ABC - (90^\circ - x)\). 10. Подставим в уравнение из пункта 8: \(x = \angle ABC - (90^\circ - x) + \angle BAM\). 11. \(\angle BAM = 180^\circ - \angle ABC - x\) (из пункта 7). 12. Подставим в уравнение из пункта 10: \(x = \angle ABC - 90^\circ + x + 180^\circ - \angle ABC - x\). 13. Получаем: \(x = 90^\circ - x\). 14. Следовательно, \(2x = 90^\circ\), то есть \(x = 45^\circ\). 15. Значит, \(\angle BCA = 45^\circ\). 16. Рассмотрим треугольник BHC. \(\angle HBC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). 17. Следовательно, треугольник BHC - равнобедренный, то есть BH = HC. 18. Рассмотрим треугольник ABH. В этом треугольнике \(\angle AHB = 90^\circ\). 19. \(\angle BAH = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - \angle ABH\). 20. \(\angle ABH = \angle ABC - \angle HBC\). 21. \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BCA - \angle BAC = 180^\circ - 45^\circ - \angle BAC\). 22. \(\angle BAC = \angle BAM = x = 45^\circ\). 23. \(\angle ABC = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\). 24. \(\angle HBC = 45^\circ\). 25. \(\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). 26. Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, то есть AH = BH. 27. Так как BH = HC, то AH = HC. 28. AC = AH + HC = 2 * AH. 29. AH = AC / 2 = 79 / 2 = 39.5 Ответ: **39.5**