Задача 15: В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC = 5√6. Найдите длину стороны AC.

В треугольнике ABC даны два угла и сторона, лежащая напротив одного из углов. Используем теорему синусов для нахождения стороны AC. Теорема синусов: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - противолежащие им углы соответственно. В нашем случае: \(BC = a = 5\sqrt{6}\) \(\angle A = 60^\circ\) \(\angle B = 45^\circ\) Нужно найти AC = b. Сначала найдем угол C: \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ\) Теперь используем теорему синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\) \(\frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}\) \(AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\) Значения синусов: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Подставляем значения: \(AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10\) Ответ: **10**