Задача 9: В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 5, cos A =$$\frac{5\sqrt{74}}{74}$$. Найдите длину стороны BC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, нам дано, что AC = 5 и cos A = $$\frac{5\sqrt{74}}{74}$$. Нам нужно найти длину стороны BC. 1. Вспомним определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: cos A = $$\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$. В нашем случае, cos A = $$\frac{AC}{AB}$$. 2. Выразим AB (гипотенузу) из этого уравнения: $$AB = \frac{AC}{\cos A}$$. 3. Подставим известные значения: $$AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{74}}{74}} = \frac{5 \cdot 74}{5\sqrt{74}} = \frac{74}{\sqrt{74}} = \sqrt{74}$$. 4. Теперь, когда мы знаем гипотенузу AB и катет AC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения катета BC: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$. 5. Выразим BC из этого уравнения: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$$. 6. Подставим известные значения: $$BC = \sqrt{(\sqrt{74})^2 - 5^2} = \sqrt{74 - 25} = \sqrt{49} = 7$$. Ответ: 7