Задача 3: В треугольнике MNK угол K равен 90°, а угол N равен 50°. На катете KN отложен отрезок KP, равный KM. Найдите углы треугольника MNP.

Решение: 1. Найдем угол M треугольника MNK: Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол K = 90°, угол N = 50°, то \(\angle M = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\) 2. Рассмотрим треугольник KMP. По условию, KM = KP, значит, треугольник KMP - равнобедренный, и углы при основании KM равны. Так как угол K = 90°, то \(\angle KMP = \angle KPM = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}\) 3. Найдем угол MNP: \(\angle MNP = \angle KMP + \angle KMN = 45^{\circ}\) 4. Найдем угол M треугольника MNP: \(\angle NMP = \angle NMK - \angle PMK = 40^{\circ} - 45^{\circ}\). Это невозможно, значит, что то не так. Угол MNP равен углу MKP + углу KPN = 45 + 50 = 95 градусов. 5. Найдем угол P треугольника MNP: Рассмотрим треугольник KMP, он равнобедренный, углы при основании равны (180 - 90)/2 = 45. Тогда внешний угол при вершине P, будет равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть 90+50 = 140. Угол KPM= 45 градусов. Ищем угол NPM, он равен 180-45 = 135. Найдём угол MNP = 95 Найдём угол NMP = 180 -95 -135 = -50. Ошибка. Значит угол NPK будет не 140 градусов. Это внешний угол. Треугольник MNP: Угол M = 40 Угол N = 50 Угол K = 90 KM = KP Угол KPM = KMP = (180-90)/2 = 45. Тогда угол PMN = 40+45 = 85 Угол MNP = 50 (не меняется). Угол MPN = 180-85-50 = 45. Ответ: \(\angle M = 85^{\circ}\), \(\angle N = 50^{\circ}\), \(\angle P = 45^{\circ}\)