Задача 16: В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, ∠B = 44°, ∠D = 128°. Найдите угол A.

Решение: Так как AB = BC и AD = CD, четырехугольник ABCD является дельтоидом. В дельтоиде диагональ AC является биссектрисой углов ∠BAD и ∠BCD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° ∠A + 44° + ∠C + 128° = 360° ∠A + ∠C = 360° - 44° - 128° ∠A + ∠C = 188° Так как AD = CD и AB = BC, то треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) являются равнобедренными. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\) и \(\angle DAC = \angle DCA\). Обозначим \(\angle BAC = x\) и \(\angle DAC = y\). Тогда \(\angle B = 44°\), следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA = (180° - 44°)/2 = 136°/2 = 68°\). Также, \(\angle D = 128°\), следовательно, \(\angle DAC = \angle DCA = (180° - 128°)/2 = 52°/2 = 26°\). \(\angle A = \angle BAC + \angle DAC = x + y\) \(\angle C = \angle BCA + \angle DCA = x + y\) Значит, \(\angle A = \angle C\). Так как \(\angle A + \angle C = 188°\), то \(2 \angle A = 188°\). \(\angle A = 188°/2 = 94°\) Ответ: 94°