Задача 17: Задумали трёхзначное число, которое делится на 42 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Решение: Пусть задуманное число равно \(\overline{abc}\), где a, b и c - цифры. Тогда \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\), а число, записанное в обратном порядке, равно \(\overline{cba} = 100c + 10b + a\). По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 594\). \(100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 594\) \(100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594\) \(99a - 99c = 594\) \(99(a - c) = 594\) \(a - c = 594/99\) \(a - c = 6\) Значит, разность между первой и последней цифрами равна 6. Задуманное число делится на 42, то есть делится на 2, 3, 7. Поскольку число делится на 2, последняя цифра должна быть четной. Так как последняя цифра не равна нулю, то c может быть 2, 4, 6 или 8. Тогда a может быть 8, если c = 2; a = 10, если c = 4 (невозможно, так как а - цифра); a = 12 если c = 6 (невозможно, так как а - цифра); a = 14 если c = 8 (невозможно, так как а - цифра). Таким образом, единственная возможная комбинация a = 8 и c = 2. Задуманное число имеет вид \(8b2\), и оно делится на 42. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. \(8 + b + 2 = 10 + b\) должно делиться на 3. Возможные значения для b: 2, 5, 8. Числа: 822, 852, 882. Проверим делимость на 7: 822 / 42 = 19.57 (не делится) 852 / 42 = 20.28 (не делится) 882 / 42 = 21 (делится) Итак, задуманное число - 882. Ответ: 882