Задача 4: В запаянной с одного конца стеклянной вертикально расположенной трубке находится столбик воздуха, запертый столбиком ртути высотой \(h_1 = 20\) см, доходящей до верхнего края трубки. Трубку медленно переворачивают вверх дном, при этом часть ртути выливается, и в трубке остается столбик ртути высотой \(h_2 = 4\) см. Определите длину трубки, если атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа.

**Решение:** 1. **Определим давление в первом состоянии:** * Когда трубка расположена вертикально запаянным концом вверх, давление воздуха в ней равно атмосферному давлению минус давление столба ртути: \[p_1 = p_0 - \rho g h_1\] Где \(p_0 = 100\) кПа, \(h_1 = 0.2\) м, \(\rho = 13600\) кг/м³ (плотность ртути), и \(g = 9.8\) м/с². * Переведем \(p_0\) в Па: \(p_0 = 100 \times 10^3\) Па. * Тогда: \[p_1 = 100000 - 13600 \times 9.8 \times 0.2 = 100000 - 26656 = 73344\) Па.\] 2. **Определим давление во втором состоянии:** * Когда трубку переворачивают, давление воздуха становится равным атмосферному давлению плюс давление столба ртути: \[p_2 = p_0 + \rho g h_2\] * Где \(h_2 = 0.04\) м. * Тогда: \[p_2 = 100000 + 13600 \times 9.8 \times 0.04 = 100000 + 5331.2 = 105331.2\) Па.\] 3. **Используем закон Бойля-Мариотта:** * Для изотермического процесса \(p_1V_1 = p_2V_2\), где \(V_1 = l_1S\) и \(V_2 = l_2S\), где \(S\) - площадь сечения трубки, а \(l_1\) и \(l_2\) - длины столба воздуха в первом и втором состояниях соответственно. * Тогда \(p_1l_1 = p_2l_2\). 4. **Выразим длины столбов воздуха через длину трубки \(L\):** * \(l_1 = L - h_1\) и \(l_2 = L - h_2\). 5. **Подставим в уравнение и найдем длину трубки \(L\):** * \(p_1(L - h_1) = p_2(L - h_2)\) * \(73344(L - 0.2) = 105331.2(L - 0.04)\) * \(73344L - 14668.8 = 105331.2L - 4213.248\) * \(31987.2L = -10455.552\) * \(L = \frac{-10455.552}{-31987.2} = -10455.552 / (73344 - 105331.2)\) \(L = \frac{14668.8 - 4213.248}{105331.2 - 73344} = \frac{10455.552}{31987.2} \approx 0.3268\) м. 6. **Переведем в сантиметры:** * \(L = 0.3268 \times 100 = 32.68\) см. **Ответ:** Длина трубки примерно 32.68 см.