Задача 5: Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 54 см и 96 см. Найдите периметр треугольника.

Привет, ребята! Решим вместе эту задачу. 1. Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как (c), а катеты как (a) и (b). Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки (c_1 = 54) см и (c_2 = 96) см. Тогда (c = c_1 + c_2 = 54 + 96 = 150) см. 2. Высота, проведённая из прямого угла, является средним пропорциональным между отрезками гипотенузы, то есть (h^2 = c_1 cdot c_2). Значит, (h = \sqrt{54 cdot 96} = \sqrt{5184} = 72) см. 3. Каждый катет является средним пропорциональным между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы, то есть (a^2 = c cdot c_1) и (b^2 = c cdot c_2). 4. Тогда (a = \sqrt{150 cdot 54} = \sqrt{8100} = 90) см и (b = \sqrt{150 cdot 96} = \sqrt{14400} = 120) см. 5. Периметр треугольника равен (P = a + b + c = 90 + 120 + 150 = 360) см. Ответ: Периметр треугольника равен 360 см.