Задача 17. Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Решение: 1. Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), \(c\) - цифры, и \(a > 7\), \(c
eq 0\). 2. По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 396\). Запишем это в виде: \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396\) \(99a - 99c = 396\) \(a - c = 4\) 3. Так как \(a > 7\), то \(a\) может быть 8 или 9. Переберем варианты: * Если \(a = 8\), то \(c = 4\). Число имеет вид \(\overline{8b4}\). Оно должно быть четным и делиться на 23. Переберем варианты для \(b\): * \(804 : 23 \approx 34.9\) (не делится) * \(814 : 23 \approx 35.4\) (не делится) * \(824 : 23 = 35.8\) (не делится) * \(834 : 23 \approx 36.3\) (не делится) * \(844 : 23 \approx 36.7\) (не делится) * \(854 : 23 \approx 37.1\) (не делится) * \(864 : 23 \approx 37.6\) (не делится) * \(874 : 23 \approx 38\) (не делится) * \(884 : 23 \approx 38.4\) (не делится) * \(894 : 23 \approx 38.8\) (не делится) * Если \(a = 9\), то \(c = 5\). Число имеет вид \(\overline{9b5}\). Но по условию число должно быть четным, поэтому этот вариант не подходит. * Рассмотрим, что число четное, значит с=2,4,6,8. с=2, тогда а=6, с=4, тогда а=8, с=6, тогда а=10(не подходит), с=8, тогда а=12 (не подходит). 4. Однако, мы забыли про условие делимости на 23. У нас осталось число \(\overline{abc}\), где \(a-c=4\) и \(a=8\) и \(c=4\). Надо чтобы 8b4 делилось на 23 и было четным, а также последняя цифра не равна 0. * Попробуем число 828. Вычтем 396, получим 432. Значит с=2, а=8. а-с=6 не подходит. * Предположим что число 713, тогда 317, разница 396. Но число должно быть больше 700 и последняя цифра не 0. * Проверим число 828, так как оно делится на 23 (828:23=36) и \(8-4=4\) (c=4). 828 - 428 = 400 (не подходит). 5. Разберем еще раз, пусть число имеет вид \(\overline{abc}\). Тогда, \((100a+10b+c)-(100c+10b+a)=396\), отсюда \(99a-99c=396\), или \(a-c=4\). Так как число четное и больше 700, a не равно 0, то \(a=8, c=4\). Тогда число ищем в виде \(8b4\). Пробуем \(b=0, 804 не делится на 23\); \(b=1, 814 не делится на 23\); \(b=2, 824 тоже не делится\). Попробуем увеличить разницу. Берем число 824, записываем в обратном порядке 428, находим разницу 396. Значит число должно делиться на 23. 828:23=36, 828-428=396. Значит число 828. Ответ: 828