Задача 17: Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид \( \overline{abc} \), где a, b, c - цифры, и \( a > 7 \), c - четная цифра и \( c
eq 0 \). Тогда это число можно записать как \( 100a + 10b + c \). Число, записанное в обратном порядке, имеет вид \( \overline{cba} \), и его можно записать как \( 100c + 10b + a \). По условию задачи, разность между задуманным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна 396: \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396\) \(99a - 99c = 396\) Разделим обе части уравнения на 99: \(a - c = 4\) Так как число \( \overline{abc} \) больше 700, то \( a \geq 7 \). Также известно, что \( a - c = 4 \), а \( c \) - четная цифра, не равная 0. Перечислим возможные варианты: 1. Если \( a = 8 \), то \( c = a - 4 = 8 - 4 = 4 \). 2. Если \( a = 9 \), то \( c = a - 4 = 9 - 4 = 5 \), но 5 - нечетная цифра, поэтому этот вариант не подходит. Таким образом, \( a = 8 \) и \( c = 4 \). Задуманное число имеет вид \( \overline{8b4} \). Известно, что число \( \overline{8b4} \) делится на 23. Проверим возможные варианты для \( b \): * Если \( b = 0 \), то число равно 804. Проверим, делится ли оно на 23: \( 804 \div 23 = 34.95... \) - не делится. * Если \( b = 1 \), то число равно 814. Проверим, делится ли оно на 23: \( 814 \div 23 = 35.39... \) - не делится. * Если \( b = 2 \), то число равно 824. Проверим, делится ли оно на 23: \( 824 \div 23 = 35.82... \) - не делится. * Если \( b = 3 \), то число равно 834. Проверим, делится ли оно на 23: \( 834 \div 23 = 36.26... \) - не делится. * Если \( b = 4 \), то число равно 844. Проверим, делится ли оно на 23: \( 844 \div 23 = 36.69... \) - не делится. * Если \( b = 5 \), то число равно 854. Проверим, делится ли оно на 23: \( 854 \div 23 = 37.13... \) - не делится. * Если \( b = 6 \), то число равно 864. Проверим, делится ли оно на 23: \( 864 \div 23 = 37.56... \) - не делится. * Если \( b = 7 \), то число равно 874. Проверим, делится ли оно на 23: \( 874 \div 23 = 38 \) - делится. * Если \( b = 8 \), то число равно 884. Проверим, делится ли оно на 23: \( 884 \div 23 = 38.43... \) - не делится. * Если \( b = 9 \), то число равно 894. Проверим, делится ли оно на 23: \( 894 \div 23 = 38.86... \) - не делится. Таким образом, задуманное число равно 874. Ответ: 874