Задача 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложить вектор AK, где K — центр грани BCC₁B₁, по векторам a = AB, b = AC, c = AA₁.

Question

Вопрос:

Задача 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложить вектор AK, где K — центр грани BCC₁B₁, по векторам a = AB, b = AC, c = AA₁.

Accepted Answer

Обозначим ребра куба: \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf{w}\).

Так как \(K\) — центр грани \(BCC_1B_1\), то

\[\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.\]

По условию \(\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}\), \(\mathbf{b}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), \(\mathbf{c}=\overrightarrow{AA_1}\). Поэтому \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}-\mathbf{a}\).

Подставим:

\[\overrightarrow{AK}=\mathbf{a}+\frac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})+\frac12\mathbf{c}=\frac12\mathbf{a}+\frac12\mathbf{b}+\frac12\mathbf{c}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\frac12\mathbf{a}+\frac12\mathbf{b}+\frac12\mathbf{c}\).