Задача 3. В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ диагонали грани BB₁C₁C пересекаются в точке M. Разложите вектор A₁M по векторам BA, BB₁, BC.

Диагонали параллелограмма \(BB_1C_1C\) пересекаются и делятся пополам, поэтому

\[\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BB_1}+\frac12\overrightarrow{BC}.\]

Так как \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}\), то

\[\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB_1}.\]

Теперь:

\[\overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{BM}.\]

Подставим найденные выражения:

\[\overrightarrow{A_1M}=-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB_1})+\frac12\overrightarrow{BB_1}+\frac12\overrightarrow{BC}.\]

После приведения подобных слагаемых:

Ответ: \(\overrightarrow{A_1M}=-\overrightarrow{BA}-\frac12\overrightarrow{BB_1}+\frac12\overrightarrow{BC}\).