Задача 2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор DA₁ по векторам AB₁, BC₁, CD₁.

Пусть \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf{w}\).

Тогда:

• \(\overrightarrow{AB_1}=\mathbf{u}+\mathbf{w}\);
• \(\overrightarrow{BC_1}=\mathbf{v}+\mathbf{w}\);
• \(\overrightarrow{CD_1}=\mathbf{w}-\mathbf{u}\);
• \(\overrightarrow{DA_1}=\mathbf{w}-\mathbf{v}\).

Сложим первые и третьи векторы и вычтем второй:

\[\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}=(\mathbf{u}+\mathbf{w})-(\mathbf{v}+\mathbf{w})+(\mathbf{w}-\mathbf{u})=\mathbf{w}-\mathbf{v}.\]

Следовательно,

Ответ: \(\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}\).