Задача 1. Дан тетраэдр MABC, каждое ребро которого равно 6 см. D ∈ MB, E ∈ MC, F ∈ AB, AF = FB. 1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) MAB и MFC; б) MCF и ABC. 2) Найдите длину CF и Sₐᵦ꜀. 3) Как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью ABC?

1. а) Плоскости MAB и MFC содержат точки M и F, поэтому их линия пересечения — прямая MF.
   б) Плоскости MCF и ABC содержат точки C и F, поэтому их линия пересечения — прямая CF.
2. Треугольник MBC равносторонний со стороной 6 см. Так как F — середина AB, в равностороннем треугольнике MAB отрезок MF — медиана и высота, поэтому MF ⟂ AB и MF = 3√3 см. В прямоугольном треугольнике MFC: CF² = MC² − MF² = 36 − 27 = 9, значит, CF = 3 см.
   Площадь равностороннего треугольника ABC: Sₐᵦ꜀ = (6²√3)/4 = 9√3 см².
3. Проведите плоскость, содержащую прямую DE и пересекающую плоскость ABC. Точка D лежит на MB, а E — на MC, поэтому DE находится в плоскости MBC. Плоскости MBC и ABC пересекаются по прямой BC. Продлите DE до пересечения с BC; полученная точка и есть пересечение DE с плоскостью ABC. Если DE ∥ BC, пересечения нет.

Ответ: 1) а) MF; б) CF. 2) CF = 3 см, Sₐᵦ꜀ = 9√3 см². 3) Пересечь DE с BC.