Задача 2. а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются (рис. 9). б) Вычислите площадь четырёхугольника, если AC ⟂ BD, AC = 10 см, BD = 12 см.

а) Пересекающиеся диагонали AC и BD задают единственную плоскость: две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Точки A и C принадлежат AC, а точки B и D — BD; следовательно, все четыре вершины лежат в этой плоскости.

б) Диагонали перпендикулярны. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников с вершиной в точке пересечения диагоналей. Если отрезки диагоналей от точки пересечения равны a, b и c, d, то S = (ab + ad + cb + cd)/2 = (a + c)(b + d)/2. Здесь a + c = AC, b + d = BD, поэтому S = AC · BD / 2 = 10 · 12 / 2 = 60 см².

Ответ: 60 см².