Задача 1. Достраивание до параллелограмма. В треугольнике ABC проведена медиана BM. На её продолжении за точку M отложен отрезок MD, равный BM. Докажите, что CD = AB. Подсказка: докажите равенство треугольников ABM и CDM по первому признаку.

1. Так как BM — медиана треугольника ABC, точка M — середина AC, поэтому AM = CM.
2. По условию BM = DM. Прямые AC и BD пересекаются в M, поэтому углы AMB и CMD — вертикальные и равны.
3. Следовательно, треугольники ABM и CDM равны по двум сторонам и углу между ними.
4. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Стороне AB соответствует CD.

Ответ: CD = AB.