Задача 1. Две деревни расположены на берегу реки, скорость течения которой постоянна. Лодка, двигаясь с постоянной скоростью от одной деревни до другой, затратила на путь по течению реки 5 часов, а на обратный путь — 6 часов. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если расстояние от одной деревни до другой составляет 90 километров.

Пусть собственная скорость лодки равна \(x\) км/ч, а скорость течения реки — \(y\) км/ч.

Скорость лодки по течению: \(x+y\), против течения: \(x-y\).

Составим систему по формуле \(s=vt\):

\[\begin{cases}5(x+y)=90,\\6(x-y)=90.\end{cases}\]

Упростим уравнения:

\[\begin{cases}x+y=18,\\x-y=15.\end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[2x=33,\quad x=16.5.\]

Тогда \(y=18-16.5=1.5\).

Проверка: \((16.5+1.5)\cdot5=90\) км; \((16.5-1.5)\cdot6=90\) км.

Ответ: собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, скорость течения — 1,5 км/ч.