Задача 3. Туристический маршрут ведёт от станции сначала вверх на вершину холма, а затем вниз по склону холма к озеру. При подъёме туристы идут со скоростью 3 км/ч, а при спуске — со скоростью 4 км/ч. Путь от станции до озера занимает 6 часов, а обратный путь — 5 часов 40 минут. Найдите длину маршрута.

Пусть длина подъёма равна \(x\) км, а длина спуска — \(y\) км.

Время обратного пути: \(5\text{ ч }40\text{ мин}=5\frac23=\frac{17}{3}\) ч.

Составим систему:

\[\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=6,\\\frac{y}{3}+\frac{x}{4}=\frac{17}{3}.\end{cases}\]

Умножим оба уравнения на 12:

\[\begin{cases}4x+3y=72,\\3x+4y=68.\end{cases}\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[x-y=4,\quad x=y+4.\]

Подставим в первое уравнение:

\[4(y+4)+3y=72,\]

\[7y=56,\quad y=8.\]

Тогда \(x=8+4=12\) км.

Длина маршрута:

\[x+y=12+8=20\text{ км}.\]

Ответ: длина маршрута — 20 км.