Задача № 1. Металлический шар диаметром d заряжен с поверхностной плотностью зарядов σ. Найти потенциал φ этого шара, если он окружён заземлённой проводящей сферой, имеющей общий с шаром центр. Диаметр сферы D. Среда — воздух.

Обозначим радиусы внутреннего и внешнего шаров: r = d/2 и R = D/2. Потенциал внешней сферы равен нулю, поскольку она заземлена.

1. Заряд внутреннего шара: \(Q=4\pi r^2\sigma\).
2. Для концентрических сфер разность потенциалов равна \(\varphi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)\).
3. Подставляем заряд и радиусы: \(\varphi=\frac{\sigma r}{\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{R}\right)=\frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{d}{D}\right)\).

Здесь для воздуха принято \(\varepsilon\approx\varepsilon_0\).

Ответ: \(\varphi=\frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{d}{D}\right)\).