Задача 1. Монету бросают два раза. Являются ли независимыми события: а) «при первом броске выпал орёл» и «при втором броске выпала решка»; б) «при первом броске выпал орёл» и «орёл выпал хотя бы один раз»?

Обозначим события: A — при первом броске выпал орёл; B — при втором броске выпала решка; C — орёл выпал хотя бы один раз. События независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей.

1. P(A) = 1/2, P(B) = 1/2. Совместное наступление событий — исход «орёл, затем решка», поэтому P(A ∩ B) = 1/4 = P(A)P(B). События независимы.

2. P(A) = 1/2, P(C) = 3/4, поскольку орёл выпадает хотя бы один раз в трёх из четырёх равновозможных исходов. Если произошло A, то событие C уже обязательно происходит, поэтому P(A ∩ C) = 1/2. Но P(A)P(C) = 3/8 ≠ 1/2. События зависимы.

Ответ: а) независимы; б) зависимы.