Задача 1. На гладком горизонтальном столе покоятся три небольших заряженных диска в начале отсчета декартовой системы координат, связанной с неподвижной поверхностью стола. Масса первого — m₁, его электрический заряд — +q₁; масса второго — m₂, его электрический заряд — +q₂; масса третьего — m₃, его электрический заряд — +q₃. В некоторый момент времени диски отпускают, и они начинают скользить без трения по поверхности стола. Через время t после начала движения первый диск оказался в точке с координатами (x₁,y₁), второй диск — в точке с координатами (x₂,y₂). Найдите координаты третьего диска в этот же момент времени.

На систему дисков не действуют внешние горизонтальные силы, поэтому её импульс сохраняется. Изначально система покоится, следовательно, полный импульс в любой момент времени равен нулю.

Так как все диски начали движение из начала координат, их скорости за время t пропорциональны радиус-векторам конечных положений:

\[\vec v_i=\frac{\vec r_i}{t}.\]

Закон сохранения импульса:

\[m_1\vec v_1+m_2\vec v_2+m_3\vec v_3=0.\]

Подставим \(\vec v_i=\vec r_i/t\) и умножим равенство на \(t\):

\[m_1\vec r_1+m_2\vec r_2+m_3\vec r_3=0.\]

По координатам:

\[m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=0,\qquad m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3=0.\]

Отсюда:

\[x_3=-\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_3},\qquad y_3=-\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_3}.\]

Ответ: \((x_3,y_3)=\left(-\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_3},-\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_3}\right)\).