Задача 1 (на первый признак: две стороны равны и параллельны). В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и AB = CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ AC.

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
2. Так как AB ∥ CD, то углы BAC и DCA равны как накрест лежащие.
3. Сторона AC — общая для обоих треугольников.
4. По условию AB = CD.
5. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует, что углы BCA и CAD равны. Это накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей AC, значит, BC ∥ AD.

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Ответ: ABCD — параллелограмм.