Задача №1: Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Пусть x - количество деталей, которое делает второй рабочий в час. Тогда первый рабочий делает x + 10 деталей в час. Время, которое тратит второй рабочий на выполнение заказа, равно \(\frac{60}{x}\) часов, а время, которое тратит первый рабочий, равно \(\frac{60}{x+10}\) часов. Из условия задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй, поэтому мы можем составить следующее уравнение: \(\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = 3\) Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на x(x+10): \(60(x+10) - 60x = 3x(x+10)\) Раскрываем скобки и упрощаем: \(60x + 600 - 60x = 3x^2 + 30x\) \(600 = 3x^2 + 30x\) Делим обе части уравнения на 3: \(200 = x^2 + 10x\) Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + 10x - 200 = 0\) Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где a = 1, b = 10, c = -200. \(x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-200)}}{2(1)}\) \(x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2}\) \(x = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2}\) \(x = \frac{-10 \pm 30}{2}\) Итак, у нас два возможных значения для x: \(x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10\) \(x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20\) Так как количество деталей не может быть отрицательным, то x = 10. Это означает, что второй рабочий делает 10 деталей в час. Тогда первый рабочий делает 10 + 10 = 20 деталей в час. Ответ: Первый рабочий делает 20 деталей в час.