Задача 1. Решите ребус ABCDEF · 4 = FABCDE. Укажите все варианты и докажите, что других нет.

Обозначим число \(ABCDEF\) через \(N\). По условию \(4N=FABCDE\), то есть результат умножения получается переносом последней цифры \(F\) числа в начало.

Тогда \(4N=100000F+(N-F)\), откуда \(3N=99999F\). Следовательно, \(N=33333F\).

Так как \(N\) — шестизначное число, а \(F\) — его первая цифра, проверяем цифры \(F=1,\ldots,9\). Число \(33333F\) должно оканчиваться цифрой \(F\). Это возможно только при \(F=3\) или \(F=6\):

• \(33333\cdot3=99999\) — число не шестизначное;
• \(33333\cdot6=199998\), его первая цифра не равна \(6\);
• для остальных значений \(F\) последняя цифра числа \(33333F\) не совпадает с \(F\).

Однако в записи ребуса первая цифра результата \(F\) должна совпадать с последней цифрой исходного числа, а из равенства \(N=33333F\) при шестизначном \(N\) следует единственно возможное значение \(F=3\), дающее \(N=99999\), что не является шестизначным числом. Значит, решений нет.

Ответ: решений нет.