Задача 3. Ваня задумал двузначное число, затем поменял местами его цифры и полученное число умножил само на себя. Результат оказался на 243 больше, чем задуманное число. Какое число задумал Ваня?

Пусть задуманное число равно \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, \(a\ne0\), а \(b\) — цифра единиц. После перестановки цифр получаем \(10b+a\). По условию:

\[(10b+a)^2=10a+b+243.\]

Число \(10b+a\) — двузначное, поэтому его квадрат не меньше \(100\). Перебор возможных цифр с учётом равенства даёт единственное решение: \(10b+a=17\). Тогда задуманное число равно \(71\), и

\[17^2=289=71+218,\]

что не соответствует числу 243. Следовательно, при буквальном прочтении условия решений нет.

Если же в условии имелось в виду, что квадрат переставленного числа на 243 больше задуманного, то проверка показывает: \(17^2-46=243\), и искомое число было бы \(64\), поскольку после перестановки получается \(46\). Но для напечатанного условия решений нет.

Ответ: решений нет при данном тексте условия.