Задача 1. Рис. 118. ABCD — параллелограмм. Найти: AD. На рисунке K лежит на BC, BK = 2, CD = 8, а DK — биссектриса угла CDA.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AB=CD=8\). Так как \(DK\) — биссектриса угла \(CDA\), то \(\angle ADK=\angle KDC\). Поскольку \(AD\parallel BC\), а \(K\) лежит на \(BC\), имеем \(\angle ADK=\angle DKB\). Значит, \(\angle DKB=\angle KDB\), поэтому треугольник \(BKD\) равнобедренный и \(BK=BD\). Однако для вычисления \(AD\) удобнее использовать равенство отрезков, образованных биссектрисой: из параллельности следует \(KC=CD=8\) не следует; вместо этого в треугольнике \(DCK\) углы при C и D равны, так как \(CK\parallel AD\) и DK — биссектриса угла между DC и DA. Следовательно, \(CK=CD=8\).

Тогда \(BC=BK+KC=2+8=10\). Противоположные стороны параллелограмма равны, значит \(AD=BC=10\).

Ответ: \(AD=10\).