Задача 2. Рис. 119. ABCD — параллелограмм. Найти: P_ABCD, ∠AED. На рисунке E лежит на BC, CD = 5; AE и DE — биссектрисы углов A и D соответственно.

Из равенства противоположных сторон параллелограмма \(AB=CD=5\). Биссектриса \(AE\) пересекает сторону \(BC\), параллельную \(AD\). Поэтому в треугольнике \(ABE\) углы \(BAE\) и \(AEB\) равны, откуда \(AB=BE=5\).

Аналогично, поскольку \(DE\) — биссектриса угла \(D\), а \(EC\parallel AD\), треугольник \(DCE\) равнобедренный: \(CE=CD=5\). Следовательно, \(BC=BE+EC=10\), а \(AD=BC=10\).

Периметр: \(P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(5+10)=30\).

Углы при A и D параллелограмма смежные, поэтому \(\angle A+\angle D=180^\circ\). Угол между их биссектрисами равен половине суммы этих углов: \(\angle AED= frac12\angle A+ frac12\angle D=90^\circ\).

Ответ: \(P_{ABCD}=30\), \(\angle AED=90^\circ\).