Задача 1. В корзине пять красных, семь синих и четыре зеленых шара. Наугад вытащили пять шаров. Какова вероятность, что a. все шары окажутся красными? b. среди них есть четыре синих и один зеленый шар? среди них есть два красных, два синих и один зеленый шар?

Решение:

Всего шаров: \( 5 \) красных + \( 7 \) синих + \( 4 \) зеленых = \( 16 \) шаров. Вытаскиваем \( 5 \) шаров.

Общее число исходов (сочетаний из \( 16 \) по \( 5 \)):

\[ C_{16}^5 = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16!}{5!11!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4368 \]

а. Вероятность того, что все шары окажутся красными:

Число способов выбрать \( 5 \) красных шаров из \( 5 \):

\[ C_5^5 = 1 \]

Вероятность \( P(A) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{C_5^5}{C_{16}^5} = \frac{1}{4368} \)

б. Вероятность того, что среди них есть четыре синих и один зеленый шар:

Число способов выбрать \( 4 \) синих шара из \( 7 \):

\[ C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Число способов выбрать \( 1 \) зеленый шар из \( 4 \):

\[ C_4^1 = 4 \]

Число благоприятных исходов: \( C_7^4 \times C_4^1 = 35 \times 4 = 140 \)

Вероятность \( P(B) = \frac{140}{4368} = \frac{5}{156} \)

в. Вероятность того, что среди них есть два красных, два синих и один зеленый шар:

Число способов выбрать \( 2 \) красных шара из \( 5 \):

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Число способов выбрать \( 2 \) синих шара из \( 7 \):

\[ C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

Число способов выбрать \( 1 \) зеленый шар из \( 4 \):

\[ C_4^1 = 4 \]

Число благоприятных исходов: \( C_5^2 \times C_7^2 \times C_4^1 = 10 \times 21 \times 4 = 840 \)

Вероятность \( P(C) = \frac{840}{4368} = \frac{5}{26} \)

Ответ: а. \( \frac{1}{4368} \); б. \( \frac{5}{156} \); в. \( \frac{5}{26} \).