Задача 4. В наборе из 35 карточек 18 латинских слов и 17 древнегреческих. Таня наугад выбрала 6 слов. После извлечения карточек из набора они откладываются в сторону и не возвращаются в набор. Какова вероятность, что из этих шести слов будут: (а) все латинскими; (b) половина латинскими, а половина древнегреческими.

Решение:

Всего карточек: \( 35 \). Латинских: \( 18 \). Древнегреческих: \( 17 \). Выбрано \( 6 \) карточек без возвращения.

Общее число способов выбрать \( 6 \) карточек из \( 35 \):

\[ C_{35}^6 = \frac{35!}{6!(35-6)!} = \frac{35!}{6!29!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1623160 \]

а. Вероятность того, что все 6 слов латинские:

Число способов выбрать \( 6 \) латинских слов из \( 18 \):

\[ C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6!12!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564 \]

Вероятность \( P(A) = \frac{C_{18}^6}{C_{35}^6} = \frac{18564}{1623160} = \frac{1160.25}{101447.5} \) (приблизительно) = \( \frac{1160.25}{101447.5} \) (упростим дробь)

Упрощаем дробь: \( \frac{18564}{1623160} = \frac{4641}{405790} \).

b. Вероятность того, что половина латинскими, а половина древнегреческими:

Это значит, что выбрано \( 3 \) латинских слова и \( 3 \) древнегреческих слова.

Число способов выбрать \( 3 \) латинских слова из \( 18 \):

\[ C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816 \]

Число способов выбрать \( 3 \) древнегреческих слова из \( 17 \):

\[ C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17!}{3!14!} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = 680 \]

Число благоприятных исходов: \( C_{18}^3 \times C_{17}^3 = 816 \times 680 = 554880 \).

Вероятность \( P(B) = \frac{554880}{1623160} = \frac{55488}{162316} = \frac{6936}{20289.5} \) (приблизительно) = \( \frac{6936}{20289.5} \) (упростим дробь)

Упрощаем дробь: \( \frac{554880}{1623160} = \frac{55488}{162316} = \frac{13872}{40579} \).

Ответ: а. \( \frac{4641}{405790} \); b. \( \frac{13872}{40579} \).