Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение:

Всего \( 6 \) шаров нужно разложить по \( 3 \) ящикам так, чтобы все ящики были не пустыми. Это эквивалентно поиску числа решений уравнения \( x_1 + x_2 + x_3 = 6 \), где \( x_i \geq 1 \) (число шаров в \( i \)-м ящике).

Сначала найдем общее число способов распределить \( 6 \) шаров по \( 3 \) ящикам без ограничений. Каждый шар может попасть в любой из \( 3 \) ящиков, поэтому всего \( 3^6 = 729 \) способов.

Теперь найдем число способов, когда хотя бы один ящик пуст. Используем принцип включений-исключений:

1. Все шары в одном ящике: \( 3 \) способа (все в 1-м, или все во 2-м, или все в 3-м).

2. Шары в двух ящиках: Выберем \( 2 \) ящика из \( 3 \) ($$C_3^2=3$$ способа). Распределим \( 6 \) шаров по этим двум ящикам так, чтобы ни один из них не был пустым. Общее число способов распределить \( 6 \) шаров по \( 2 \) ящикам равно \( 2^6 \). Исключим случаи, когда все шары попали только в один из двух ящиков (\( 2 \) случая). Итого: \( 3 \times (2^6 - 2) = 3 \times (64 - 2) = 3 \times 62 = 186 \) способов.

Число способов, когда хотя бы один ящик пуст: \( 3 \) (когда все в одном ящике) + \( 186 \) (когда в двух ящиках) = \( 189 \) способов.

Число способов, когда все ящики не пустые: \( 3^6 - 189 = 729 - 189 = 540 \). Это общее число исходов при условии, что ящики не пустые.

Теперь найдем число способов, когда во всех ящиках разное число шаров. Возможные комбинации чисел шаров, дающие в сумме \( 6 \) и где все числа различны и \( ≥ 1 \):

• \( 1 + 2 + 3 = 6 \)

Число способов распределить шары по ящикам так, чтобы в одном был \( 1 \) шар, во втором \( 2 \), в третьем \( 3 \). Это число перестановок с повторениями, но для шаров это важно, когда шары различимы. Если шары неразличимы, то это просто число способов выбрать, в какой ящик положить 1 шар, в какой 2, в какой 3.

Сначала выберем \( 1 \) шар для первого ящика \( C_6^1=6 \). Затем из оставшихся \( 5 \) шаров выберем \( 2 \) для второго ящика \( C_5^2=10 \). Оставшиеся \( 3 \) шара пойдут в третий ящик \( C_3^3=1 \). Это дает \( 6 \times 10 \times 1 = 60 \) способов. Но порядок ящиков важен, то есть \( (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) \) — это разные варианты.

Всего вариантов распределения \( 1, 2, 3 \) шаров по \( 3 \) ящикам: \( 3! = 6 \) перестановок.

Таким образом, число благоприятных исходов (разное число шаров в ящиках): \( 60 \times 3! = 60 \times 6 = 360 \). ИЛИ, если шары неразличимы, то это просто 1 способ (1,2,3) и 6 перестановок ящиков. Но шары будем считать различимыми. Количество способов распределить 6 различимых шаров по 3 различимым ящикам так, чтобы в ящиках оказалось 1, 2, 3 шара соответственно:

\( C_6^1 \times C_5^2 \times C_3^3 = 6 \times 10 \times 1 = 60 \). Это для фиксированного порядка ящиков (1,2,3).

Поскольку порядок ящиков может быть любым (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), нужно умножить на \( 3! = 6 \).

Число благоприятных исходов = \( 60 \times 6 = 360 \).

Вероятность \( P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{360}{540} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \).