Задача № 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — такая точка на стороне AD, что AM = 1/2 · MD. Выразите через векторы x = AD, y = AB следующие векторы: AC, AO, CO, DO.

Положим начало отсчёта в точке A. Тогда положение точки B задаётся вектором \(\vec y\), а точки D — вектором \(\vec x\). Поскольку ABCD — параллелограмм, \(\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), а \(\overrightarrow{CO}=-\frac12(\vec x+\vec y)\).

Для последнего вектора вычтем положение D из положения O: \(\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec x+\vec y)-\vec x=\frac12(\vec y-\vec x)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y;\quad \overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y);\quad \overrightarrow{CO}=-\frac12(\vec x+\vec y);\quad \overrightarrow{DO}=\frac12(\vec y-\vec x)\).