Задача № 2. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA₁, BB₁, CC₁ через векторы a = AC и b = AB.

Question

Вопрос:

Задача № 2. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA₁, BB₁, CC₁ через векторы a = AC и b = AB.

Accepted Answer

Обозначим положение точек относительно A: \(\overrightarrow{AC}=\vec a\), \(\overrightarrow{AB}=\vec b\).

Так как A₁ — середина BC, \(\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

Точка B₁ — середина AC, поэтому \(\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec a\). Тогда \(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{AB}=\frac12\vec a-\vec b\).

Точка C₁ — середина AB, следовательно, \(\overrightarrow{AC_1}=\frac12\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AC}=\frac12\vec b-\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\vec a+\vec b);\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b;\quad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec b-\vec a\).