Задача 1. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BK и BM к прямым AD и CD соответственно. Известно, что BK = BM, а угол между этими перпендикулярами (угол KBM) равен 40°. 1. Докажите, что данный параллелограмм ABCD на самом деле является ромбом. 2. Найдите все углы этого параллелограмма.

Пусть длины сторон, образующих угол при вершине D, равны AD и CD. Площадь параллелограмма можно выразить через сторону AD и высоту BK: S = AD · BK. Так как AB ∥ CD, расстояние между прямыми AB и CD равно BM, поэтому также S = CD · BM.

По условию BK = BM, следовательно, из равенства площадей получаем AD = CD. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Значит, все четыре стороны равны, и ABCD — ромб.

Угол между перпендикулярами BK и BM равен 40°. Поскольку BK ⟂ AD и BM ⟂ CD, угол между прямыми AD и CD равен 40° либо 140°. Это соседние углы параллелограмма; противоположные углы равны.

Ответ: углы параллелограмма равны 40°, 140°, 40°, 140°.