Задача 2. Дана равнобедренная трапеция ABCD (AB = CD). Из вершин B и C к основанию AD проведены высоты BH и CF. 1. Докажите, что четырёхугольник BCFH является прямоугольником. 2. Найдите длину большего основания AD, если средняя линия трапеции равна 12 см, а отрезок AH = 3 см.

Так как BC и AD — основания трапеции, BC ∥ AD. Высоты BH и CF перпендикулярны AD, поэтому BH ∥ CF. Точки H и F лежат на AD, значит HF ∥ BC. Следовательно, BCFH — параллелограмм. Поскольку BH ⟂ HF, у него есть прямой угол, поэтому BCFH — прямоугольник.

Обозначим большее основание AD через x, а меньшее BC — через y. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(\frac{x+y}{2}=12\), значит \(x+y=24\).

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому выступы у концов большего основания одинаковы: AH = FD = 3 см. Прямоугольник BCFH даёт HF = BC = y. Тогда \(AD=AH+HF+FD=y+6\), то есть \(x-y=6\).

Решаем систему: \(x+y=24\), \(x-y=6\). Складывая равенства, получаем \(2x=30\), откуда \(x=15\).

Ответ: AD = 15 см.