Задача № 1. В треугольнике ABC ∠A = 105°, ∠C = 30°, AB = 4√2 см. Найдите сторону BC. Варианты: 1) 4 см; 2) 3 см; 3) 2√2 см; 4) 6 см.

По сумме углов треугольника: ∠B = 180° − 105° − 30° = 45°.

По теореме синусов, поскольку AB лежит напротив угла C, а BC — напротив угла A:

BC / sin 105° = AB / sin 30°, поэтому BC = 4√2 · sin 105° / sin 30°.

sin 105° = (√6 + √2) / 4, следовательно, BC = 4√2 · (√6 + √2) / 4 · 2 = 4(√3 + 1) см.

Это значение не совпадает ни с одним предложенным вариантом, поэтому в условии или вариантах, вероятно, есть ошибка.

Ответ: BC = 4(√3 + 1) см; среди перечисленных вариантов правильного нет.