Задача 1. Вычисление длины и оценка расстояния. Дана незамкнутая ломаная MNPQR со звеньями: MN = 4 см, NP = 5 см, PQ = 3 см, QR = 6 см. а) Найдите длину ломаной. б) Может ли расстояние MR быть равным 19, 17 см, 8 см? Для каждого случая дайте обоснованный ответ (используйте неравенство о длине ломаной).

а) Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев:

MN + NP + PQ + QR = 4 + 5 + 3 + 6 = 18 см.

б) Расстояние между концами ломаной не больше длины ломаной: MR ≤ 18 см. Кроме того, по неравенству треугольника для пути от M до R через звенья ломаной, MR ≥ 0; в данном случае более сильную положительную нижнюю границу по одним лишь длинам звеньев установить нельзя, поскольку направления звеньев не заданы.

19 см — нет, поскольку это больше 18 см. 17 см — да, расстояние может быть таким: при неколлинеарных звеньях длина пути может превышать расстояние между концами. 8 см — также да: звенья могут располагаться так, чтобы их суммарная длина была 18 см, а расстояние между концами составляло 8 см.

Ответ: длина ломаной — 18 см; MR может быть 17 см или 8 см, но не может быть 19 см.