Задача № 10. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁, точка N лежит на ребре CC₁, точка K лежит на ребре DD₁. Постройте / Назовите: а) плоскости, в которых лежат точки M, N; б) найдите точку F — точку пересечения прямых MN и BC. Каким свойством обладает точка F? в) найдите точку пересечения прямой KN и плоскости ABC; г) найдите линию пересечения плоскостей MNK и ABC.

а) M и N принадлежат плоскости боковой грани BCC₁B₁. Кроме того, вместе с ребром BC они лежат в плоскости основания ABCD.

б) M и N лежат в плоскости грани BCC₁B₁, поэтому прямая MN также лежит в этой плоскости. Прямая BC лежит в той же плоскости, следовательно, их точка пересечения F принадлежит плоскости грани BCC₁B₁. Однако положение F зависит от расположения M и N: если MN параллельна BC, конечной точки пересечения нет; если MN совпадает с BC, пересечение не единственно. Для обычного случая непараллельных прямых F — точка пересечения продолжений MN и BC.

в) Прямая KN лежит в плоскости, проходящей через вертикальные рёбра DD₁ и CC₁, то есть в плоскости грани CDD₁C₁. Эта грань пересекает основание ABCD по прямой CD. Поэтому искомая точка — пересечение прямой KN с прямой CD.

г) Точки F и G, где G=KN∩CD, принадлежат плоскостям MNK и ABCD: F лежит на MN⊂MNK и на BC⊂ABCD, а G лежит на NK⊂MNK и на CD⊂ABCD. Следовательно, линия пересечения плоскостей MNK и ABCD — прямая FG.

Ответ: а) плоскость BCC₁B₁; б) F=MN∩BC, если пересечение существует; в) G=KN∩CD; г) прямая FG.