Задача 3. Дано: куб ABCDА₁B₁C₁D₁ — куб, P ∈ B₁B, B₁P = PB. Вопросы: 1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой D₁P? 2) Как построить линию пересечения плоскостей AD₁P и ABB₁? 3) Вычислить длину отрезков AP и AD₁, если AB = a.

1) Точка P — середина ребра B₁B, поэтому P лежит в плоскости грани ABB₁A₁. Прямая D₁P лежит в плоскости ADD₁A₁ вместе с точкой D₁; однако P не лежит в этой грани. Рассмотрим плоскость, проходящую через D₁P и параллельную ребру AB: она пересечёт плоскость ABC по прямой через A, параллельной AB, и содержит D₁P лишь при соответствующем построении. Более простой способ: продолжить прямую D₁P до пересечения с плоскостью основания ABC. Обозначим искомую точку X; построение выполняют в плоскости DD₁P, продолжая прямую D₁P до основания. Введём координаты куба: A=(0,0,0), B=(a,0,0), D=(0,a,0), D₁=(0,a,a), P=(a,0,a/2). Параметрическая прямая D₁P даёт при z=0 параметр t=2, откуда X=(2a,−a,0).

2) Плоскости AD₁P и ABB₁ имеют общую точку P, поскольку P∈BB₁⊂ABB₁. Они также имеют общую точку A, так как A принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, линия пересечения — прямая AP.

3) По теореме Пифагора, учитывая перпендикулярность взаимно перпендикулярных рёбер куба:

В треугольнике ABB₁: \(BP=a/2\), поэтому \(AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{a^2+a^2/4}=\frac{a\sqrt5}{2}\).

Диагональ грани \(AD_1=\sqrt{AD^2+DD_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\).

Ответ: 1) продолжить D₁P до пересечения с плоскостью ABC; точка пересечения X. 2) прямая AP. 3) \(AP=\frac{a\sqrt5}{2}\), \(AD_1=a\sqrt2\).