Задача 5. ABCD — ромб, O — точка пересечения его диагоналей, M — точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. A, D, O лежат на плоскости α. Вопросы: 1) Лежат ли в плоскости α точки B и C? 2) Лежит ли в плоскости MOB точка D? 3) Назовите линию пересечения плоскостей MOB и AOD. 4) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°. (Решить разными способами.) Дополнительная задача. Условие: а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются (рис. 9). б) Вычислите площадь четырёхугольника, если его диагонали AC и BD пересекаются, AC = 10 см, CD = 12 см, а α — угол между ними, причём sin α = 1 (угол 90°).

1) Да. Точки A, D и O не лежат на одной прямой: O принадлежит диагонали BD, а A и D — вершины ромба. Эти три точки задают плоскость ромба. Поскольку α проходит через A, D и O, она совпадает с плоскостью ромба, значит, B и C также лежат в α.

2) Нет. Плоскости MOB и ромба имеют общей прямую OB, так как O и B принадлежат обеим плоскостям. Точка D не лежит на диагонали OB, поэтому D не принадлежит плоскости MOB.

3) Плоскость AOD совпадает с плоскостью ромба. Её пересечение с плоскостью MOB — прямая OB.

4. Способ 1 — формула площади через сторону и угол: \(S=a^2\sin60^\circ=4^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\) см².

Способ 2 — через диагонали: диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной, половины диагоналей равны \(4\cos30^\circ=2\sqrt3\) и \(4\sin30^\circ=2\). Поэтому диагонали равны \(4\sqrt3\) и 4 см, а \(S=\frac{4\sqrt3\cdot4}{2}=8\sqrt3\) см².

Дополнительная задача а) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пересекающиеся прямые AC и BD задают единственную плоскость. Точки A и C лежат на первой прямой, B и D — на второй, следовательно, все четыре вершины принадлежат этой плоскости.

Дополнительная задача б) Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними вычисляется по формуле \(S=\frac12 AC\cdot BD\sin\alpha\). Но длина BD не дана. Значений AC=10 см, CD=12 см и \(\sin\alpha=1\) недостаточно: CD — сторона, а не диагональ; при перпендикулярных диагоналях из этих данных нельзя однозначно определить обе диагонали и площадь. Нужны дополнительные сведения, например длина BD или дополнительные свойства четырёхугольника.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) прямая OB; 4) \(8\sqrt3\) см². В дополнительной задаче а) все вершины компланарны; б) данных недостаточно для определения площади.