Задача 10. Треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC. На луче AC за точкой C отложен отрезок CM, на луче CA за точкой A отложен отрезок AK такой, что AK = CM. Докажите, что треугольник KBM — равнобедренный.

Пусть \(O\) — середина основания \(AC\). В равнобедренном треугольнике \(AB=BC\), поэтому медиана \(BO\), проведённая к основанию, перпендикулярна \(AC\).

Точки расположены на одной прямой в порядке \(K,A,O,C,M\). Поскольку \(AK=CM\), середина отрезка \(KM\) совпадает с серединой \(AC\), то есть с точкой \(O\). Следовательно, \(O\) — середина \(KM\).

Так как \(BO\perp AC\), а \(KM\) лежит на той же прямой, то \(BO\perp KM\). Значит, прямая \(BO\) является серединным перпендикуляром к \(KM\). Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, поэтому \(BK=BM\).

Следовательно, треугольник \(KBM\) равнобедренный.