Задача 16. ABCD — ромб; ∠1 = ∠2 = α. AR = 3 см. Найти: ∠A; P_ABCD.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому треугольник BRC прямоугольный при R. Так как его острые углы ∠1 и ∠2 равны, каждый равен 45°.

Диагонали AC и BD ромба делятся пополам, поэтому RC = AR = 3 см. В прямоугольном равнобедренном треугольнике BRC катеты равны: BR = RC = 3 см.

В треугольнике ARB угол R прямой, а AR = BR = 3 см, поэтому ∠A = 45° + 45° = 90°. Сторона ромба \(AB=\sqrt{AR^2+BR^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\) см. Тогда \(P_{ABCD}=4\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) см.

Ответ: ∠A = 90°; \(P_{ABCD}=12\sqrt{2}\) см.