Задача 16. Дан прямоугольник ABCD. Точка M принадлежит стороне BC. Известно, что BM = 8, ∠AMD = 90°, ∠ADM = 45°. Найдите периметр прямоугольника ABCD.

Обозначим BM = 8, а MD — горизонтальный отрезок от M до стороны AD. Так как ∠ADM = 45° и угол при A в прямоугольнике прямой, в прямоугольном треугольнике ADM катеты равны: AD = AM? Удобнее обозначить высоту прямоугольника через h, ширину через w. Тогда горизонтальное расстояние от M до D равно h, поскольку угол ADM равен 45°, то есть w − 8 = h.

Условие ∠AMD = 90° означает, что AM ⟂ DM. Горизонтальное смещение от A до M равно 8, а вертикальное — h; горизонтальное смещение от M до D равно h. Перпендикулярность даёт h² = 8h, откуда h = 8.

Тогда w = h + 8 = 16. Периметр прямоугольника равен 2(w + h) = 2(16 + 8) = 48.

Ответ: 48.