Задача 16. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам; M и M1 — середины сторон BC и B1C1. Докажите, что медианы AM и A1M1 равны.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, соответствующие стороны и углы равны: \(AB=A₁B₁\), \(BC=B₁C₁\), \(\angle ABC=\angle A₁B₁C₁\).

Поскольку M и M₁ — середины соответствующих равных сторон, \(BM=\frac{BC}{2}=\frac{B₁C₁}{2}=B₁M₁\).

Точки M и C лежат на одном луче из B, а M₁ и C₁ — на одном луче из B₁. Поэтому \(\angle ABM=\angle A₁B₁M₁\).

Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle A₁B₁M₁\) по двум сторонам и углу между ними. У равных треугольников соответствующие стороны равны, значит, \(AM=A₁M₁\).

Ответ: \(AM=A₁M₁\).