Задача 18: В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Рассмотрим треугольник KMP. Так как угол KMP равен 90 градусам, то это прямоугольный треугольник. Из условия, MK - биссектриса угла AMB. Это означает, что угол AMK равен углу KMB. MP - высота в треугольнике CBM, значит угол CMP = 90 градусов. Из условия, угол KMP = 90 градусов. Это значит, что сумма углов KMC + CMP = 90 градусов. Теперь рассмотрим треугольник BMP. Угол BMP = 90 градусов по условию (MP - высота). Так как у нас есть прямоугольный треугольник KMP, а также прямые углы CMP и BMP, то можем сказать, что точки K, M, P, B лежат на одной окружности. (теорема Фалеса, так как MK и MB - хорды) Поскольку MK - биссектриса угла AMB, то можно заметить, что угол KMB = угол KMA. Так как K, M, P, B лежат на одной окружности, угол KMB равен углу KPB (опираются на одну хорду KB). Также из условия KMP=90 и CMP=90 следует, что K, M, P лежат на одной прямой. Значит угол KPB = угол KMB. В треугольниках CMP и BMP угол CMP=BMP=90. Так как KMP=90, то CMP + KMC =90 Угол KMA = угол KMB, угол KMB=угол KPB. Из этого следует что угол KMA = угол KPB. Поскольку CM = 12, a MP перпендикулярно CB, а также из условия задачи мы видим, что угол KMP = 90, и что MK является биссектрисой угла AMB, а MP – высотой в треугольнике CMB, из этого следует что в треугольнике CMB, MP является одновременно биссектрисой и высотой (по свойству биссектрисы в равнобедренном треугольнике), значит треугольник CMB - равнобедренный, и CM=BM. Тогда BM = CM = 12. Ответ: BM = 12