Задача 2 (1) Скручивающая нагрузка, действующая на круглый стержень, имеет среднее значение 2500 Н и дисперсия 150500 Н². Среднее значение площади поперечного сечения стержня составляет 80 мм² и среднеквадратическое отклонение 9 мм². Найти среднее значение и среднеквадратическое отклонение напряжения кручения? Нарисовать график плотности распределения. Q = F / S

Пошаговое решение:

1. Дано:
   • Среднее значение силы (F): \( \mu_F = 2500 \) Н.
   • Дисперсия силы (\( \sigma_F^2 \)): \( 150500 \) Н².
   • Среднее значение площади (S): \( \mu_S = 80 \) мм².
   • Среднеквадратическое отклонение площади (\( \sigma_S \)): 9 мм².
   • \( \sigma_S^2 = 9^2 = 81 \) мм⁴.
   • Напряжение кручения (Q): \( Q = \frac{F}{S} \).
2. Нахождение среднего значения напряжения кручения:
   • Приближенное среднее значение напряжения кручения рассчитывается как отношение средних значений: \( \mu_Q \approx \frac{\mu_F}{\mu_S} \).
   • \( \mu_Q \approx \frac{2500}{80} = 31.25 \) Н/мм².
3. Нахождение среднеквадратического отклонения напряжения кручения:
   • Используем формулу для дисперсии частного двух случайных величин (приближенно):
   • \( \sigma_Q^2 \approx \left( \frac{\mu_F}{\mu_S} \right)^2 \left( \frac{\sigma_F^2}{\mu_F^2} + \frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2} \right) \)
   • Подставляем значения:
   • \( \frac{\sigma_F^2}{\mu_F^2} = \frac{150500}{2500^2} = \frac{150500}{6250000} \approx 0.02408 \)
   • \( \frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2} = \frac{81}{80^2} = \frac{81}{6400} \approx 0.01266 \)
   • \( \sigma_Q^2 \approx (31.25)^2 (0.02408 + 0.01266) \)
   • \( \sigma_Q^2 \approx 976.5625 \cdot (0.03674) \approx 35.88 \)
   • Среднеквадратическое отклонение напряжения кручения: \( \sigma_Q = \sqrt{\sigma_Q^2} \approx \sqrt{35.88} \approx 5.99 \) Н/мм².
4. График плотности распределения:
   • Предполагая, что напряжение кручения имеет приблизительно нормальное распределение (если исходные величины распределены нормально или их количество велико), график будет колоколообразным с центром в \( \mu_Q = 31.25 \) и стандартным отклонением \( \sigma_Q \approx 5.99 \).

Ответ: Среднее значение напряжения кручения ≈ 31.25 Н/мм², среднеквадратическое отклонение напряжения кручения ≈ 5.99 Н/мм².