Задача № 2. «Айсберг с грузом» Льдина площадью S = 10 м² плавает в море. Когда на неё поместили груз массой т, льдина погрузилась дополнительно на Дh = 4 мм. Первоначальная толщина льдины 5 см. Определите массу т груза. Плотность льда р₁ = 900 кг/м³, плотность воды р₂ = 1000 кг/м³.

Решение:

1. Начальное состояние:

Льдина плавает в воде, значит, сила Архимеда уравновешивает её вес:

\( F_{A1} = P_л \)

\( \rho_2 g V_{под1} = \rho_1 g V_л \)

\( \rho_2 S h_1 = \rho_1 S H \)

\( h_1 = \frac{\rho_1 H}{\rho_2} = \frac{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.05 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.045 \text{ м} \)

2. Состояние с грузом:

Когда на льдину поместили груз, она погрузилась дополнительно на \( \Delta h \). Теперь сила Архимеда уравновешивает вес льдины и груза:

\( F_{A2} = P_л + P_г \)

\( \rho_2 g V_{под2} = \rho_1 g V_л + mg \)

\( \rho_2 g S (h_1 + \Delta h) = \rho_1 g S H + mg \)

3. Выразим массу груза \( m \):

\( mg = \rho_2 g S (h_1 + \Delta h) - \rho_1 g S H \)

\( m = \rho_2 S \frac{(h_1 + \Delta h)}{H} - \rho_1 S H \)

Заметим, что \( \rho_1 g S H = \rho_2 g S h_1 \). Подставим это в уравнение:

\( mg = \rho_2 g S (h_1 + \Delta h) - \rho_2 g S h_1 \)

\( mg = \rho_2 g S h_1 + \rho_2 g S \Delta h - \rho_2 g S h_1 \)

\( mg = \rho_2 g S \Delta h \)

\( m = \rho_2 S \frac{\Delta h}{g} \)

4. Подставим значения:

\( m = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м}^2 \cdot \frac{0.004 \text{ м}}{10 \text{ Н/кг}} \)

\( m = 10000 \text{ кг/м}^2 \cdot 0.0004 \text{ м}^2 \cdot \text{кг/Н} = 4000 \text{ кг} \)

Ответ: Масса груза \( m = 4000 \text{ кг} \).