Задача 2. Через точки M и N, лежащие на стороне OA угла с вершиной O, проведены прямые, параллельные стороне OB. Эти прямые пересекают другую сторону угла в точках M₁ и N₁ соответственно. Дано: OM = 3, MN = 6, OM₁ = 5. Найдите длину отрезка M₁N₁.

Шаг 1. Так как точки M и N лежат на луче OA и OM < ON, имеем ON = OM + MN = 3 + 6 = 9.

Шаг 2. По теореме о пропорциональных отрезках отношение расстояний на двух сторонах угла одинаково: OM₁/OM = ON₁/ON. Поэтому ON₁ = 9 · 5/3 = 15.

Шаг 3. Тогда M₁N₁ = ON₁ − OM₁ = 15 − 5 = 10.

Ответ: M₁N₁ = 10.